3 constantes matemáticas en la naturaleza

Hoy es el día internacional de las matemáticas, o el día de pi. Aparte de la que define la relación entre el diámetro y la circunferencia, ¿qué otras constantes matemáticas encontramos expresadas en la naturaleza?

Las matemáticas han demostrado ser la herramienta más útil para el estudio de la naturaleza y para el resto de ciencias. La naturaleza está llena de patrones y proporciones. Desde la disposición de los pétalos en una flor hasta el crecimiento de la población de una colonia de bacterias, y desde la trayectoria que toma un halcón al abalanzarse sobre su presa hasta la forma que genera la nube de tinta de un pulpo, aparecen formas geométricas y ecuaciones que pueden modelarse matemáticamente. Y en esos modelos surgen ciertos valores que son constantes matemáticas.

Hoy es 14 de marzo, día internacional de las matemáticas, y el día de pi. Es justo que les rindamos un homenaje. Trataremos tres constantes matemáticas que aparecen reiterativamente en la naturaleza.

El número e y la espiral del molusco

La concha del nautilo
La concha del nautilo forma una curiosa espiral que esconde una constante matemática: el número e.

Hay un tipo de espirales en matemáticas que se denominan logarítmicas.
Parten de un origen y se van separando de forma que una vuelta conserva una proporción geométrica respecto a la siguiente. Una propiedad de este tipo de espiral es que, si trazas una circunferencia en torno a su centro, el ángulo que forma con la espiral en el punto de corte es siempre el mismo, sin importar el tamaño de la circunferencia. Y ese ángulo se define por un logaritmo, de ahí su nombre.

Las conchas de los moluscos —y de muchos otros animales—, responden a aproximaciones de logaritmos naturales. Estos son los que emplean como base el número e, o número de Euler. Se trata de un número irracional, es decir, cuyos infinitos decimales no se repiten nunca, y su valor es aproximadamente 2,718 281 828…

Medidas del desplazamiento angular (en radianes) y el logaritmo natural del radio en la oreja de mar
Medidas del desplazamiento angular (en radianes) y el logaritmo natural del radio en la oreja de mar. La línea recta expresa el resultado de la espiral matemática. Fuente: Cortie, 1992

Esto se debe a la manera en la que crece la concha. En un tiempo dado de crecimiento del molusco, su concha crece aproximadamente en la misma medida en la que crece el molusco, con una inclinación constante respecto al eje de simetría, genéticamente determinada. De este modo, el ángulo de la espiral respecto a la circunferencia se mantiene constante a lo largo de la vida del animal. La variación que se observa entre las proporciones reales de las conchas de los moluscos y el modelo matemático que las define es, en ocasiones, tan reducido, que son necesarias medidas de extrema precisión y exactitud para hallarla.

 

El número áureo y el romanesco

El romanesco
El romanesco forma una inflorescencia de aspecto fractal, que esconde una curiosidad botánica, sostenida en el número φ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…; esta secuencia tiene una particularidad. Empezando por el número 1, cada número subsiguiente es el resultado de sumar los dos números anteriores. Es la secuencia de Fibonacci, y la relación entre cada número y su anterior define una proporción. Va cambiando en cada eslabón de la cadena. Si empezamos por el principio, esa proporción es igual a 1; luego 2; luego 1,5; 1,666…; 1,6; 1,625; pero cada vez se va acotando más y más, hasta que, al hacerse infinita la secuencia, termina definiendo un número, al que llamamos áureo o número φ (phi). También es un número irracional y su valor es aproximadamente de 1,618 033 988…


Vamos a las plantas. En el ápice, el extremo por donde crecen, se distribuyen unos tejidos llamados meristemos, que van produciendo las ramas, las hojas o las piezas florales. A la disposición de estas estructuras le llamamos filotaxis, y sigue siempre patrones regulares en espiral.

En cada especie, los órganos se distribuyen de una forma específica, pero en todos los casos se conserva un patrón general, que viene definido por dos valores: el número de vueltas al tallo en cada espiral, partiendo de una pieza y terminando en la siguiente que se encuentre en la misma posición (m), y el número de piezas en cada espiral (n). De este modo, con una división, se obtiene la fracción de vuelta entre una pieza y la siguiente: m/n.

Una particularidad es que el número de vueltas no es aleatorio. Cada espiral puede dar una vuelta al tallo, dos, tres, cinco, ocho… pero nunca cuatro, seis o siete. El valor “m” sigue la secuencia de Fibonacci. Del mismo modo, el valor “n”, también sigue la misma secuencia. No obstante, lo más asombroso es que no lo hacen de forma independiente. No encontramos en la naturaleza ninguna planta que tenga, por ejemplo, un ángulo de 5/21, aunque ambos valores se correspondan con números de Fibonacci. El número “n” es siempre dos números siguientes al “m” en la secuencia de Fibonacci.

De este modo, encontramos hojas que se distribuyen en 1/2; cada espiral ocupa una vuelta y lleva dos hojas. O bien, 1/3; cada espiral es de una vuelta y lleva tres hojas, como en el haya. O 2/5; cada espiral ocupa dos vueltas y lleva cinco hojas, como el roble. O 3/8 como el girasol. O 5/13 como el almendro…

Pero lo más característico de este tipo de patrones es que, cuando las piezas están muy juntas, generan espirales claramente visibles. Eso es lo que sucede en el romanesco, ese brócoli que parece un fractal, y lo hace con buen motivo; realmente es una aproximación natural a un fractal matemático. Un fractal en cuyo fondo, gracias a la secuencia de Fibonacci, se esconde a plena vista el número φ.

 

El omnipresente número pi

 

Los granos de polen
Los granos de polen tienden a ser esféricos, y como cualquier otra cosa que se acerque a esa forma, esconde la constante matemática más famosa de todas: π.

Su valor aproximado es por todos conocido: 3,141 592 653… Como los anteriores, se trata de un número irracional, y su definición también está clara: es la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Dado este hecho, el número π está presente en todas partes donde exista una circunferencia, fragmentos de una, o cualquier cosa que se obtenga a partir de una circunferencia.

Por ejemplo, una esfera.

La fórmula matemática del volumen de la esfera es 4⁄3 π r3 ; donde “r” es el radio

Así que donde exista una esfera en la naturaleza, se esconde el número π. Desde el núcleo de las células hasta los granos de polen. Y las formas que se aproximan a la esfera, como los huevos de las aves, si bien se requieren fórmulas más complejas para ser modeladas, también tienen el número π en su composición.

¿Y por qué la esfera? Porque una esfera, por definición, es aquel volumen que presenta todos los puntos de su superficie equidistantes a un punto central, y además, es la forma en la que se puede encerrar un volumen dado usando la menor superficie, o usando una superficie dada, encerrar el mayor volumen. Es la forma óptima para mantener el equilibrio hidrostático y esto la convierte en la más estable, ya sea para hablar del diminuto núcleo de una célula o de la más grande de las estrellas.

REFERENCIAS:

Cortie, M. 1992. The form, function, and synthesis of the molluscan shell. En I. Hargittai & C. A. Pickover, Spiral Symmetry (pp. 369-387). World Scientific. DOI: 10.1142/9789814343084_0019

Jean, R. V. 1992. On the origins of spiral symmetry in plants. En I. Hargittai & C. A. Pickover, Spiral Symmetry (pp. 323-351). World Scientific. DOI: 10.1142/9789814343084_0017

Pérez Morales, C. 1999. Morfología de espermatófitos. Ed. Celarayn.

Vary (Álvaro Bayón)

Vary (Álvaro Bayón)

Soy doctor en biología, especializado en especies invasoras. Intento divulgar sobre ciencia y naturaleza mientras lucho férreamente contra las pseudociencias y el pensamiento mágico. Cuando me queda tiempo, cazo pokémon y hago artesanía. Además, soy (un poco) adicto al twitter.

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