¿Qué es la paradoja del cumpleaños?

¿Qué tan grande debe ser un grupo aleatorio de personas para que exista un 50% de posibilidades de que al menos dos de las personas compartan un cumpleaños? La respuesta sorprende a muchas personas. Tan solo se requieren 23 personas. Pero, ¿Cómo es posible?

 

Al reflexionar sobre esta pregunta, conocida como el "problema del cumpleaños" o la "paradoja del cumpleaños" en estadística, muchas personas adivinan intuitivamente 183, ya que es la mitad de todos los cumpleaños posibles, dado que generalmente hay 365 días en un año. La realidad dice que este cálculo nos aleja de la respuesta correcta.

"Me encantan este tipo de problemas porque ilustran cómo los humanos generalmente no son buenos con las probabilidades, lo que los lleva a tomar decisiones incorrectas o sacar malas conclusiones", así se ha expresado Jim Frost, estadístico y escritor al hablar sobre la paradoja del cumpleaños. "Además, muestran cuán beneficiosas pueden ser las matemáticas para mejorar nuestras vidas. Por lo tanto, los resultados contrarios a la intuición de estos problemas son divertidos, pero también tienen un propósito". explica Frost.

Entonces si la respuesta no es 183 ¿Cuál es la cantidad correcta? Para calcular la respuesta a la paradoja del cumpleaños, Frost comenzó con algunas suposiciones. En primer lugar, descartó los años bisiestos, sólo con el propósito de  simplificar las matemáticas y tomando en cuenta que no cambia mucho los resultados. También asumió que todos los cumpleaños tienen las mismas posibilidades de ocurrir.

Veamos las probabilidades, si para comenzar solo hemos formado un grupo de dos personas, la probabilidad de que la primera persona no cumpla años con la segunda es 364/365. Como tal, la probabilidad de que compartan un cumpleaños es 1 menos (364/365), o una probabilidad de alrededor del 0,27%.

Ahora bien, si ahora el grupo está conformado por tres personas, las dos primeras personas cubren dos fechas, esto significa que la posibilidad de que la tercera persona no comparta un cumpleaños con los otros dos es 363/365. Como tal, la probabilidad de que todos compartan un cumpleaños es 1 menos el producto de (364/365) veces (363/365), o una probabilidad de aproximadamente 0,82 %.

Siguiendo con esta fórmula está claro que cuantas más personas, mayores serán las posibilidades de que al menos un par de ellas compartan un cumpleaños. Por lo tanto, con 23 personas, hay una probabilidad del 50,73 %, y con 57 personas, hay una probabilidad del 99%.

"He recibido mensajes de profesores universitarios de estadística que harán una apuesta de 20 $ sobre dos personas que comparten un cumpleaños en una clase de estadística en particular", dijo Frost. "Dadas las probabilidades asociadas con el problema del cumpleaños, él sabe que prácticamente tiene la garantía de ganar. ¡Pero cada semestre, los estudiantes siempre hacen la apuesta y pierden! Afortunadamente, dice que devuelve el dinero, pero luego les enseña cómo resolver la paradoja del cumpleaños".

Puede haber varias razones por las que la respuesta a la paradoja del cumpleaños parezca contraria a la intuición. El razonamiento rápido generalmente lleva a pensar que si hay 365 días en un año, probablemente necesite alrededor de 182 personas para una probabilidad del 50%. y la realidad es que debemos fijarnos en que la cantidad de posibles parejas aumenta exponencialmente con el tamaño del grupo.

Al igual que el Problema de Monty Hall, la mayoría de la gente piensa que la respuesta al Problema del cumpleaños es sorprendente. Sin embargo, la respuesta es completamente correcta y para encontrarla se han usado dos métodos diferentes: cálculos de probabilidad y simulación por computadora.

A menudo, las personas pensarán en su cumpleaños y en la probabilidad de que alguien coincida con esa fecha específica. Sin embargo, el problema pregunta sobre dos personas que comparten un cumpleaños. Eso significa que tienes que comparar todos los posibles pares de individuos. Evaluar todos los pares hace que el número de comparaciones aumente rápidamente, y ahí radica la fuente de confusión.

Para compartir un cumpleaños, cada par tiene una probabilidad fija de 0.0027 para coincidir. Eso es bajo para un solo par. Sin embargo, a medida que aumenta rápidamente el número de pares, también lo hace la probabilidad de una coincidencia. Con 23 personas, necesitas comparar 253 pares. Con tantas comparaciones, se vuelve difícil que ninguna de las parejas de cumpleaños coincida.

Cuando hay 57 personas, hay 1 596 pares para comparar, y está prácticamente garantizado con una probabilidad de 0,99 de que al menos un par coincidirá con los cumpleaños.

La paradoja del cumpleaños nos da resultados sorprendentes como de que, en cada partido de fútbol si contamos a los 11 jugadores de cada equipo, al árbitro y a los entrenadores (25 personas), ¡Hay una probabilidad del 57% de que dos personas cumplan años el mismo día!

Referencia:

Statistics By Jim.  2020,  Answering the Birthday Problem in Statistics. (Press Release)

 

Doctor Fisión

Doctor Fision

Divulgador científico especialista en física y astrofísica, y apasionado de la ciencia en general. Autor del bestseller "El Universo Explicado" y de "La Nueva Carrera Espacial". Tiene más de 3 millones de seguidores en redes sociales.

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