Siete retos matemáticos… ¡superados!

El momento eureka que llega de madrugada, la serendipia que surge viendo vídeos de YouTube, el trabajo en equipo… Cualquier fórmula sirve para resolver incógnitas matemáticas que llevaban décadas esperando solución.

Pizarra con fórmulas matemáticas
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Hace justo veinte años, el Instituto Clay de Matemáticas (Cambridge, EE. UU.) lanzó un gran reto: quien solucionara uno de los llamados siete problemas del milenio recibiría nada más y nada menos que un millón de dólares.

Los desafíos elegidos no fueron fruto del azar, sino que los seleccionó la junta científica asesora del organismo tras consultar a referentes mundiales en diferentes áreas de las matemáticas, y tenían un denominador común: interrogantes clásicos de calado que llevaban mucho tiempo sin respuesta.

A lo largo de este siglo solo uno de tales problemas, la conjetura de Poincaré, que fue formulada en 1904 por el matemático francés Henri Poincaré, ha sido resuelta. El genio que lo logró, el ruso Grigori Perelman, publicó sus resultados en el repositorio de acceso abierto arXiv en 2002 y 2003. La comunidad científica los validó, el Instituto Clay reconoció su trabajo en 2010 y le concedió el millón de dólares. Sin embargo, Perelman nunca aceptó el dinero, ni la prestigiosa medalla Fields –considerada el Nobel de las matemáticas– que le concedieron a raíz de su hallazgo. “No quiero estar expuesto como un animal en un zoológico. No soy un héroe de las matemáticas”, declaró.

Aquella negativa conmocionó a la comunidad científica mundial. Lo recuerda muy bien Antonio Córdoba, director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), con sede en la Universidad Autónoma de Madrid, para quien “la personalidad de Grigori Perelman dio un aire romántico a su renuncia al millón de dólares y a la medalla Fields”. Más allá de este caso, tal clase de problemas estimula a los investigadores, aunque resolverlos no implique una contrapartida tan suculenta. “Los premios y la gloria que conlleva dar con la solución puede que sean un acicate legítimo, pero yo diría que a la larga resultan irrelevantes, y que lo verdaderamente valioso es la mera curiosidad intelectual que despiertan estos retos”, puntualiza el matemático español.

Todos los especialistas sueñan con desenredar estos grandes embrollos de la ciencia de los números, y aunque no lo logren, su intento incrementa el saber de la disciplina. “Tanto o más relevante que establecer si una conjetura resulta cierta o no es el método seguido en la demostración, ya que puede introducir nuevas ideas, técnicas y estrategias que hagan avanzar las matemáticas, incluso en áreas distintas a las del problema original”, destaca Daniel Peralta-Salas, investigador del ICMAT. A continuación, repasamos otros siete dilemas matemáticos distintos a los problemas del milenio, que unas cuantas mentes brillantes han conseguido solucionar en la última década, tras muchos años de enconado trabajo.

1. ¿Cómo se describe con números la ruptura de una ola?

Aunque han pasado unos cuantos años, Diego Córdoba recuerda perfectamente lo que sintió al describir matemáticamente cómo rompe una ola: “Es una sensación fantástica, entras en un estado de euforia al saber que has contribuido a enriquecer el área de la dinámica de fluidos y has empujado las fronteras del conocimiento”, nos explica el científico del ICMAT.

En colaboración con otros tres matemáticos españoles y uno estadounidense, Córdoba publicó en 2012 en la revista científica PNAS la solución a este dilema, un ejemplo clásico de lo que los especialistas llaman singularidad, que se da cuando entran en juego comportamientos extraños e inesperados. “A pesar de lo natural y cotidiano de estos fenómenos, la demostración analítica de la existencia de singularidades tropieza con enormes dificultades de naturaleza matemática”, sostiene. Resuelto este asunto, Córdoba se ha planteado un nuevo desafío relacionado con este y que forma parte de los problemas del milenio: las ecuaciones de Navier-Stokes. En 1755, el matemático suizo Leonhard Euler escribió por primera vez las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento de un fluido ideal, sin fricción en sus moléculas. Casi un siglo más tarde, el francés Claude-Louis Navier y el británico George Gabriel Stokes introdujeron la fricción, y llegaron a las citadas ecuaciones, que hoy se utilizan en los modelos de simulación climáticos o en los que describen cómo fluye el aire en torno a las alas de un avión.

Pero aunque se usen, nadie ha desarrollado una teoría matemática que ayude a comprenderlas del todo. “El problema es demostrar si las singularidades del fluido ocurren en su seno y no son consecuencia de su frontera”, aduce Córdoba. Si el matemático español consigue resolver el misterio, además de volver a experimentar esa sensación de euforia ganará un millón de dólares.

Las matemáticas ayudan a entender fenómenos inestables y en apariencia caóticos, como la ruptura de las olas, los huracanes y las turbulencias de todo tipo.

Billete de lotería
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2. El misterio del billete de lotería que siempre resulta premiado

Una noche a las dos de la madrugada, Asger Törnquist se despertó de golpe: acababa de dar con la solución a un problema relacionado con la teoría de conjuntos que planteó en 1969 el matemático británico Adrian R. D. Mathias. “Era una idea tan obvia que no podía creer que no la hubiera pensado antes”, nos cuenta este profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Copenhague (Dinamarca) sobre su momento eureka.

El dilema que se les había resistido durante medio siglo a los especialistas se relaciona con la posibilidad de que exista un billete de lotería que siempre resulta premiado, en el marco de la teoría de Ramsey, que estudia qué condiciones debe haber en algún conjunto para que surja cierto tipo de orden. Törnquist se topó con este desafío matemático hace más de una década, cuando era un joven que estudiaba su doctorado en la Universidad de California.

En concreto, le fascinaron los problemas planteados por Adrian R. D. Mathias, quien nunca pudo demostrar la correlación entre la citada teoría de Ramsey y lo que él denominó familias MAD. El símil que suele usarse para explicar esto a los profanos es el de un billete de lotería que siempre gana. “Lo que Mathias le preguntó al mundo de las matemáticas era si el orden y la estructura que conocemos según los resultados de la teoría de Ramsey impiden la existencia de una familia MAD, es decir, si hacen imposible que exista un billete de lotería que siempre gana”, dice Törnquist.

El matemático danés trabajó con su colega austriaco David Schrittesser y concluyó que, tal y como Mathias sospechaba, no existe un billete de lotería que siempre resulte premiado. Sus resultados los publicó la revista PNAS en septiembre de 2019, en lo que supuso la culminación de una carrera apasionante entre matemáticos de todo el mundo que intentaban solventar este desafío teórico.

Las matemáticas pueden explicarlo casi todo: desde la forma en la que una ola del mar o un huracán se desarrollan hasta los resultados de los sorteos.

3. De la brillante mente de Ramanujan a la hipótesis de Riemann

Si ha existido un matemático que haya dado a la perfección el perfil de genio es el indio Srinivasa Aiyangar Ramanujan. A pesar de su temprana muerte en 1920 (falleció con solo 32 años) y pese a su limitada formación académica, revolucionó áreas como el análisis matemático, la teoría de números, las series y las fracciones continuas. Los especialistas siguen estudiando sus miles de fórmulas, y tratan de averiguar cómo llegó a ellas.

Una de las más conocidas es la de las identidades de Rogers-Ramanujan, propuestas por el británico Leonard James Rogers en 1894 y redescubiertas y probadas posteriormente por el matemático de la India. Tres investigadores de Estados Unidos han dado con la llave para acceder a ellas, gracias a un conjunto de números algebraicos y fórmulas que han publicado en arXiv.

Se da la circunstancia de que uno de estos tres matemáticos, Ken Ono, profesor de la Universidad de Virginia (EE. UU.) y vicepresidente de la Sociedad Norteamericana de Matemáticas, se ha propuesto un reto aún mayor que desentrañar la mente de Ramanujan: resolver uno de los problemas del milenio, la hipótesis de Riemann. “Me encantaría descifrarlo, pero no he dedicado mi vida profesional a eso —nos dice. Y añade—: Creo que he aportado nuevos resultados para lograrlo, pero no estamos cerca de hacerlo”.

Formulada en 1859 por el matemático alemán Bernhard Riemann, la hipótesis parte del teorema de los números primos, que determina la distribución promedio de estos. La hipótesis de Riemann se refiere a la desviación de este promedio, un problema sobre el que cualquier teórico como Ono ha reflexionado en algún momento de su carrera. “Los números primos se encuentran entre los objetos más importantes en nuestro campo, y por tanto estamos obligados a pensar en la hipótesis de Riemann”, subraya este investigador.

4. Cuando YouTube te lleva a solucionar una compleja ecuación

La suerte tuvo mucho que ver con que Andrew Booker, profesor de Matemáticas en la Universidad de Bristol (Reino Unido), resolviera un problema propuesto en 1954 por otra universidad de su país, la de Cambridge. Él mismo nos lo cuenta: “Dirigí un club de matemáticas para la escuela de primaria de mis hijos y estaba buscando temas para explicar cuando encontré un vídeo de YouTube sobre este asunto, y eso me enganchó”.

Se trataba de la ecuación x3 +y3 +z3 =k, siendo k todos los números desde el 1 al 100. A lo largo de décadas, técnicas sofisticadas y herramientas de computación permitieron a los matemáticos resolver cada valor de k (o probar que no se podía resolver), pero había dos que se les resistían: el 33 y el 42.

Booker resolvió la ecuación para el valor 33 con la ayuda de un superordenador de su universidad en aproximadamente un mes. Para el 42 necesitó la ayuda de otro científico, Andrew Sutherland, del Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), en EE. UU., y varios meses más. Ambos utilizaron Charity Engine, una especie de computador global que aprovecha la potencia no utilizada de más de medio millón de ordenadores domésticos. Tardaron un millón de horas, pero dieron con la solución, y Booker dio literalmente un salto de alegría en su despacho cuando se enteró.

“En general, los matemáticos no empiezan con la intención de resolver un problema que lleva abierto muchos años. Una táctica mejor es leer muchas cosas, y a veces aparece algo que puede hacer que contribuyas a resolverlo”, nos explica. En su caso, está suscrito al repositorio digital arXiv, y cada día lee lo que se publica sobre su área de estudio. Por si la serendipia vuelve a hacer de las suyas.

Tuit
Twitter Ryan O'Donnell

5. La elegancia matemática resumida en un tuit

Los matemáticos suelen tener una lista de problemas favoritos, ya sea por su complejidad, por su elegancia o porque les han marcado a lo largo de su carrera. En el caso del chino Hao Huang, entre su lista de retos que superar figuraba la conjetura de la sensibilidad, uno de los escollos más importantes de la ciencia computacional teórica.“Tiene una formulación matemática equivalente extremadamente elegante y de aspecto inocente. Incluso se puede explicar a estudiantes de primaria inteligentes en pocos minutos”, dice este profesor del Departamento de Matemáticas y Ciencias Informáticas de la Universidad Emory (EE. UU.). Pese a la aparente sencillez del asunto, Huang tardó siete años en dar con la solución, que publicó en el verano de 2019.

La conjetura de la sensibilidad fue planteada en 1994 por Noam Nisan, de la Universidad Hebrea de Jerusalén (Israel), y Mario Szegedy, de la Universidad Rutgers (EE. UU.). Se relaciona con el lenguaje binario, el sistema de unos y ceros que se usa en programación o para diseñar circuitos y chips, y tiene que ver con la forma en la que una máquina puede llegar a tomar decisiones. Huang desarrolló un método algebraico para probar la conjetura y lo publicó en su web, a la espera de la opinión de sus colegas. “Estaba muy emocionado al principio, pero como otras veces creí que había probado otros problemas y al final descubría lagunas o errores, me tranquilicé y revisé cuidadosamente el trabajo muchas veces, para enviar después la versión preliminar a mis amigos”, recuerda Huang. Estos, así como toda la comunidad matemática, confirmaron la validez de su solución, que fue publicada en arXiv–, y el investigador Ryan O’Donnell, de la Universidad Carnegie Mellon (EE. UU.), logró resumirla en un tuit. Huang confía en que el método algebraico que ideó para probar la conjetura se pueda aplicar a otros problemas importantes del área de la computación.

El matemático chino Hao Huang resolvió en solo dos páginas el problema de la conjetura de la sensibilidad, y su solución se condensó en un tuit de 282 caracteres.

6. La competitiva contrarreloj que llevó a resolver la conjetura de Chern

La famosa frase “la unión hace la fuerza” puede aplicarse con la máxima propiedad a las matemáticas y a problemas como la conjetura de Chern, planteada en 1955, y a la que llevaba veinte años dándole vueltas Francisco Presas, del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Esta teoría ideada por el chino-estadounidense Shiing-Shen Chern se refiere a que en un espacio dado se pueden encontrar distribuciones de hiperplanos de características geométricas específicas. “En mi tesis doctoral estudié una serie de técnicas que me permitían descomponer espacios en piezas más simples”, afirma Presas. Sin embargo, no conseguía avanzar, y tras diez años le escribió Dishant Pancholi, un profesor indio que estaba en Trieste (Italia), diciéndole que había encontrado la clave que le faltaba.

“Le invité a Madrid un par de días, y no nos aclaramos. Le volví a invitar un mes entero en el invierno de 2011, y llegamos a la conclusión de que su argumento era erróneo, pero invertimos tantas horas que se nos ocurrió uno alternativo”, recalca. Presas, Pancholi y el joven estudiante Roger Casals dedicaron un año entero a escribir la prueba. La enviaron a una revista científica en 2012, pero tuvieron que hacer diferentes cambios hasta que, a mediados de 2014, el artículo fue aceptado para publicarlo y la comunidad matemática lo dio por válido.

Durante esa espera de dos años, varios equipos matemáticos intentaron también probar la conjetura de Chern. Era una carrera contrarreloj, y Presas recuerda el alivio que sintió cuando su artículo fue aceptado por la prestigiosa revista científica especializada Annals of Mathematics.

7. La conjetura de lord Kelvin, demostrada 140 años después de su formulación

Alberto Enciso y Daniel Peralta-Salas, matemáticos del ICMAT, calculan que tardaron unos nueve años en resolver un problema que llevaba 140 sin respuesta: la conjetura propuesta en 1875 por el físico escocés William Thomson (lord Kelvin, conocido sobre todo por la escala de temperatura Kelvin) para entender la estructura atómica de la materia. En 2015 demostraron con números que las estructuras que imaginó ese científico se corresponden con la configuración de la materia fluida. Los fluidos en equilibrio, como el agua que fluye por una cañería, pueden esconder estructuras en forma de dónut retorcido, de manera muy compleja. El problema de Kelvin aparece en el estudio de fluidos turbulentos y de los campos magnéticos responsables de las fulguraciones de las estrellas.

Los investigadores españoles declararon entonces lo siguiente: “Teníamos la sensación de que debería ser posible extender algunas de las técnicas que habíamos introducido un par de años antes para resolver una célebre conjetura del ruso Vladímir Arnold, también sobre las líneas de corriente de fluidos en equilibrio, y de que esa perspectiva nos podría dar opciones reales de demostrar esta conjetura centenaria”. Pero el reto era más complicado de lo que pensaban, y tuvieron que desarrollar nuevas ideas y herramientas para derrotar el problema de Kelvin.

Su demostración fue publicada en el año 2015 en la revista Acta Mathematica, y se considera la más importante de la historia de la geometría de los fluidos. Los autores reconocen haber sentido una “gran satisfacción” al resolverla y continúan trabajando para dar respuesta a nuevos enigmas de la naturaleza, como, por ejemplo, el de cómo se rompen las citadas estructuras anudadas cuando se sale del equilibrio en un fluido viscoso.

Las matemáticas resultan esenciales para desentrañar la estructura de la materia.