Pensar en el infinito te lleva al manicomio y otras locuras matemáticas

¿Sabes cuántos números naturales hay? ¿Y cuántos números impares? ¿Y números reales? Si la respuesta que das es “infinitos” es correcta a medias.

 

¿Sabes cuántos números naturales hay? Si empezamos a contar: 1, 2, 3, 4... ¿acabaremos algún día? No, porque son infinitos. Ahora bien, si tomamos los infinitos números pares ¿hay más, menos o igual número que naturales? Podemos creer que hay más naturales que pares porque los segundos son un subconjunto de los primeros. No es así: hay tantos números naturales como pares. La forma más clara de verlo es poniendo en fila los pares (2, 4, 6, 8, 10...) y debajo los naturales (1, 2, 3, 4, 5...) ¿Podemos unir por flechas cada número par con cada número natural? Sí, y no sobra ninguno. Luego existen tantos números pares como naturales. Que una parte de un conjunto tenga tantos elementos como todo el conjunto es tan raro que, al darse cuenta de ello, Galileo dijo que lo infinito era “intrínsecamente incomprensible”.

El concepto de números infinitos fue algo desconcertante hasta 1874, cuando el alemán Georg Cantor demostró que la infinitud podía ser tratada matemáticamente. Definió un número infinito de este modo: aquél que puede ser emparejado con cierta parte de sí mismo, como hemos visto antes. Encontró una serie de resultados sorprendentes: hay tantos números naturales como fracciones (o números racionales en lenguaje matemático) y tantos puntos en una línea recta –infinita obviamente– como en un plano o en el espacio. “Lo veo pero no lo creo”, escribió en 1877.

Pero también descubrió que había más puntos en una recta que números naturales, lo que significa que el infinito de la recta es mayor que el de los números naturales. Al infinito más pequeño lo llamo álef-0, donde la letra álef es la primera de los alfabetos hebreo, árabe y persa. Este infinito es el de los números naturales. El siguiente, álef-1, es el número de puntos de una recta, y a partir de ahí sigue una serie interminable que Cantor bautizó como números transfinitos.

Sus ideas no hallaron una aceptación inmediata entre sus colegas, pues estaban más deseosos de prescindir por completo del infinito que de hablar de un número infinito de infinidades, que era lo que hacía Cantor. Uno de sus antiguo profesores, Leopold Kronecker, fue un crítico durísimo. Lo calificó como matemáticamente demente y puso todo su empeño en que Cantor no consiguiera un puesto de profesor en la Universidad de Berlín. Otro matemático aún más famoso, el francés Henri Poincaré, dijo que la teoría matemática del infinito de Cantor era algo que generaciones posteriores la considerarían “una enfermedad de la que uno se ha recobrado”.

Semejante ataques por primeros espadas de la matemática europea produjeron un tremendo efecto emocional en Cantor, un hombre ya de por sí un tanto paranoico. Empezó a ver conspiraciones por todos lados hasta tal punto que dejó de colaborar con la única revista matemática que publicaba sus trabajos porque estaba convencido que su director formaba parte de una conjura maquinada contra él. En la primavera de 1884 toda esta tensión se desató y Cantor sufrió una crisis nerviosa. Una vez recuperado, abandonó las matemáticas y se dedicó a escribir textos filosóficos. Murió en 1918 en un manicomio.

Los lógicos matemáticos tienen poco de lógicos

Eso sí, resulta extraño descubrir que los más destacados lógicos del siglo XX, aquellos que han puesto las bases del pensamiento metódico y racional, haya pasado por el manicomio en algún momento de sus vidas. Uno de los más cuerdos fue Alonzo Church aunque, en ocasiones, su comportamiento no podría calificarse de normal. El matemático Gian-Carlo Rota escribió sobre él: “Físicamente, Alonzo parecía un cruce entre un oso panda y un búho. Hablaba lentamente, construyendo su discurso en largos párrafos que parecían sacados de algún libro. Nunca hablaba por hablar. Por ejemplo, él nunca diría: “Está lloviendo”. En lugar de eso habría dicho: Debo aplazar mi paseo a Nassau Street pues está lloviendo, hecho que puedo verificar mirando por la ventana”.

Church hablaba con parsimonia y tono uniforme, sin emoción. Sus clases era todo un espectáculo. Durante los 10 primeros minutos borraba meticulosamente la pizarra hasta que no quedaba el menor resto de tiza sobre ella. A veces usaba agua y jabón, y aunque sus alumnos intentaban ahorrarle el trabajo, daba igual: él seguía con su ritual. Sus clases era la trascripción al lenguaje hablado de sus textos de lógica, punto por punto. Y en aquellas raras ocasiones en que lo que decía en clase discrepaba de alguna forma del texto escrito, Church avisaba con antelación. Siempre podía encontrársele en los pasillos de su centro de trabajo a cualquier hora del día o de la noche. Incluso un día de Navidad sus alumnos le encontraron sentado en las escaleras.

Y ahí tenemos a un grande entre los grandes, el lógico Kurt Gödel. Gran amigo de Einstein, el físico alemán comentó en una ocasión que iba a trabajar al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en lugar de hacerlo en casa solo por volver caminando a casa junto a Gödel. Tímido, retraído y excéntrico, vestía siempre ropa de abrigo, incluso en pleno verano. En invierno dejaba todas las ventanas de su casa abiertas, pues creía que sus enemigos intentaban asesinarle usando gas venenoso. Estaba obsesionado con la enfermedad pero no hacía ningún caso de las prescripciones y recomendaciones de sus médicos. Hacia el final de su vida estaba convencido de que querían eliminarle envenenado su comida, por lo que sólo se alimentaba de lo que cocinaba su mujer; ni tan siquiera se fiaba de la que él mismo pudiera preparar. Y éste fue el motivo de su muerte. A finales de 1977 su mujer cayó gravemente enferma y dejó de cocinar. Gödel rehusó comer y murió de inanición el 14 de enero de 1978. Pesaba entonces 30 kilos.

Referencias:

Bruno, Leonard C (1999) Math and mathematicians, UXL

Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press

Rota, G. (2009) Indiscrete thoughts, ‎Birkhäuser Boston

 

Miguel Ángel Sabadell

Miguel Ángel Sabadell

Me licencié en astrofísica pero ahora me dedico a contar cuentos. Eso sí, he sustituido los dragones y caballeros por microorganismos, estrellas y científicos de bata blanca.

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