Lee en exclusiva un extracto del primer capítulo del libro 'Historia del infinito'

Aunque la cultura de la humanidad se remonta a civilizaciones muy antiguas, quizás todos estemos de acuerdo en que quienes primero se preguntaron por la esencia del universo y fueron capaces de dar algunas respuestas fueron los griegos. La filosofía, la física o la matemática (entendida esencialmente como geometría), adquieren un estatus propio y principal en la Grecia clásica.

La observación de lo que les rodeaba dio lugar al estudio del Universo: encontraron planetas y dibujaron constelaciones con estrellas. Y también se preguntaron de qué estaba hecho este Universo. Y, por supuesto, se preguntaban por el origen de todo el Universo.

Anaximandro y lo ilimitado

Uno de los primeros en dar una tentativa de respuesta fue Anaximandro de Mileto (611‐546 a. C.), que fue sucesor en la escuela de Mileto del conocidísimo Tales (624‐547 a. C.), quizás uno de los primeros pensadores en introducir la geometría (entendida en el sentido actual de la palabra) en el mundo griego. No en vano, a él se le atribuye el conocido teorema de Tales sobre semejanza de segmentos (lo que, cuentan, le permitió calcular la altura de las pirámides sin más que medir la sombra que proyectaban).

Anaximandro continuó con la labor geométrica de Tales e introdujo esta disciplina (y, por extensión, la ciencia en sí) en el estudio de materias como la astronomía y la geografía, en las cuales antes había predominado el misticismo. Se podría decir que, con Anaximandro, la astrología dejó, por fin, paso a la astronomía.

En su afán por conocer cómo se originó el Universo, Anaximandro recurre al apeiron, lo ilimitado, lo que no tiene límites, para encontrar su arché (el principio u origen). El gran filósofo Aristóteles explica muy claramente la ausencia de límites, recurriendo a una reducción al absurdo: «Todo tiene un origen o es un origen. El apeiron no tiene origen, porque, si los tuviera, tendría un límite».

Para Anaximandro el apeiron es, en realidad, un sinónimo del Todo. Ahondando en ese concepto de ausencia de límites, no hay nada fuera del apeiron. Esta es la primera vez en la que aparece el concepto de infinito en la historia de la ciencia; un infinito muy rudimentario y meramente filosófico, pero infinito, al fin y al cabo.

Anaximandro no solo se ocupó del origen del Universo, sino que, en cierto modo, también de su tamaño. Tenía una visión global en la que la Tierra (para él tenía forma cilíndrica con el triple de diámetro que altura) era el centro y el Sol, la Luna, los planetas conocidos y las estrellas giraban a su alrededor.

Incluso en esta cosmología de Anaximandro, el infinito vuelve a aparecer ligado a la ciencia. Para Anaximandro, como consecuencia de que el origen es lo ilimitado, deberían existir una cantidad ilimitada de mundos: ilimitada en sentido espacial (en lenguaje actual, hay una cantidad infinita de planetas) o temporal (quizás sea un germen de las teorías de universos paralelos). También la materia constituyente del Universo debía ser ilimitada.

Realmente apenas conocemos los escritos de Anaximandro, puesto que todos se perdieron. Lo que sabemos de él son comentarios de otros autores como Simplicio, Plutarco o el mismísimo Aristóteles.

Todo es número

Uno de los alumnos más destacados de la escuela de Mileto es, sin duda, Pitágoras de Samos (ca. 570‐490 a. C). Considerado como el primer matemático puro de la historia, a veces se le encuadra como discípulo directo de Tales. Sin embargo, lo único que parece probable es que, cuando Pitágoras contaba con dieciocho o veinte años, visitó Mileto y conoció a un ya anciano (y probablemente retirado de la vida pública) Tales. Sin embargo, sí que pudo atender a las clases de Anaximandro (sucesor de Tales), cuyas ideas sobre geometría y cosmología tuvieron un gran impacto en su devenir como filósofo y matemático.

Aunque su logro matemático más reconocido es el teorema sobre triángulos que hoy lleva su nombre, no queda claro que él fuera siquiera el autor de una demostración matemática.

Pitágoras creó lo que se conoce como escuela pitagórica, una corriente filosófica a modo de secta. Todo el conocimiento generado en el entorno de los pitagóricos (así se conocían a los miembros), quedaba exclusivamente para el uso de la comunidad y, en principio, no podía ser atribuido a ningún miembro concreto del grupo.

La idea motriz de la escuela pitagórica era: «Todo es número». El sentido de este lema es, realmente, que todo el conocimiento (físico y matemático) es mensurable, es decir, que se puede medir. Para los pitagóricos, como ocurría ya en la antigua Babilonia, los números tenían sentido únicamente como medida de algo. Los números no son entes abstractos; para los pitagóricos, los números eran la longitud de una cuerda, el área de una finca o el volumen de una piedra. Solo tenían sentido si expresaban una magnitud física. Pero ¿qué significa medir? Para Pitágoras, igual que para nosotros hoy en día, medir es comparar con una unidad fija y establecida, es comparar con algo ya conocido. Medir es establecer una proporción.

Para los pitagóricos, la proporción entre dos longitudes podría ser igual, el doble, el triple o cuádruple una respecto de la otra; o la proporción entre dos superficies ser la mitad o la cuarta parte una de otra; o, a lo más, podían mezclar ambas formas y decir que la proporción de dos volúmenes es tres veces y una cuarta parte más.

Aquí está la clave. Las comparaciones, esas razones o proporciones, se podían hacer a través de partes naturales. De esta forma, fijada una unidad (pongamos un metro, en longitud), para medir otra longitud basta con ir poniendo una tras otra la unidad hasta que cubra lo que queremos medir, o dividir en suficientes partes iguales la unidad para el caso de longitudes más pequeñas. En lenguaje actual, cualquier cosa se podía medir usando números naturales (1, 2, 3, 4..., usualmente representados por el símbolo N) o fracciones de números naturales (2/3, 1/4, 7/8).

Para los pitagóricos, era posible medir cualquier magnitud con estas premisas. Siempre, en una cantidad finita de pasos, podían acabar. En lenguaje matemático moderno, los pitagóricos postulaban que solo con los números racionales (positivos) bastaba para medir cualquier magnitud.

Hoy en día sabemos que los números racionales (las fracciones positivas o negativas de números naturales y habitualmente representados por el símbolo Q) son aquellos de los que, al efectuar la división, obtenemos una cantidad finita de decimales, o bien un decimal infinito periódico. En ambos casos, es posible representarlos con una cantidad finita de símbolos (bien los decimales exactos, como por ejemplo 4,5123, bien indicando el periodo con un símbolo encima tal y como nos enseñaron en los colegios ).

Sin embargo, estos no son todos los posibles números decimales. Se pueden encontrar números que tengan infinitos decimales, pero sin ningún tipo de repetición periódica (por ejemplo, 0,1234567891011121314..., conocido como número de Champernowne, o 3,1415926535... más conocido como número π). Estos números, a los que hoy conocemos como irracionales, no podemos expresarlos en toda su extensión salvo utilizando nuevos símbolos (como √, π, e...).

Pero su llegada supuso un cataclismo para Pitágoras y sus seguidores.

«Los hombres ligeros y mediocres, los espíritus pre- suntuosos y exaltados quieren llegar a una conclusión en todas las cosas, pretendiendo encontrar la finalidad de la vida y la dimensión del infinito» Gustave Flaubert

Inconmensurables

Y llegó la tragedia. Un pitagórico tardío, Hipaso de Metaponte (ca. 530‐450 a. C.) comprobó la existencia de pares de segmentos que, por muy pequeña que eligiéramos la unidad, eran imposibles de comparar. Pares de longitudes que, para medir una usando como unidad una fracción de la otra, necesitaban utilizar un proceso que no acaba nunca, un proceso infinito. Se acababan de descubrir los inconmensurables, o expresado en lenguaje moderno, los números irracionales.

Un ejemplo no muy complicado de este hecho es el caso del lado y la diagonal de un cuadrado. Un sencillo argume to de reducción al absurdo (probablemente debido a Euclides varios siglos después) y que se enseña a alumnos primer curso de carreras científicas o a alumnos aventajados de Bachillerato, muestra claramente que el número que hoy conocemos como no es expresable en forma de fracción.

Sin embargo, parece más plausible que Hipaso encontrara su ejemplo de segmentos inconmensurables en el pentágono y la estrella de cinco puntas que este define. Esta figura geométrica, tratada como símbolo místico para la secta pitagórica, esconde un par de segmentos inconmensurables que bien pueden haber sido los que Hipaso encontró. La razón entre el lado del pentágono y una cualquiera de sus diagonales resulta ser otro número irracional bien conocido, el número de oro .

Aunque es más probable que fuese este último número el causante de la tragedia de los inconmensurables, hubiese resultado una cruel ironía histórica el hecho de que el resultado que ha dado notoriedad histórica a Pitágoras y su grupo, el teorema de Pitágoras, fuese el responsable del descubrimiento de los inconmensurables a través de . Es quizás por eso que en muchos textos se atribuye a la diagonal del cuadrado y no al pentágono el origen de los números irracionales.

Cuando los pitagóricos comprobaron la existencia de estos inconmensurables, toda su filosofía de vida se vino abajo. Su lema principal dejaba de tener sentido y lo habían comprobado. Sin embargo, la idiosincrasia de su grupo hizo que este descubrimiento se mantuviera en secreto y no saliera a la luz.

Se dice, aunque es más una leyenda que realidad, que el propio Hipaso no respetó la norma que impedía divulgar los conocimientos adquiridos y sacó a la luz la existencia de los inconmensurables. Este hecho supuso su expulsión del grupo y los pitagóricos mostraron públicamente una lápida con su nombre (mostrando que para ellos había muerto). Hipaso acabó sus días en un naufragio en circunstancias extrañas. Según algunas versiones de la historia, se suicidó para expiar sus errores; según otras, fueron los propios pitagóricos quienes lo arrojaron por la borda.

En cualquier caso, el daño ya estaba hecho. Y, aunque solo sean leyendas, podríamos decir que fue la primera víctima mortal del infinito.